Probabilité que le dernier passager récupère sa place

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100 passagers sont sur le point d’embarquer sur un avion qui peut transporter que 100 passagers. Il est donc complet.

Le premier passager à entrer va s’asseoir sur un siège sans tenir compter de son numéro. Les autres passagers vont chercher leur siège attribué. S’il est libre, ils s’y assoient sinon ils prennent une autre place au hasard.

Quelle est la probabilité que le dernier passager à entrer puisse s’installer à sa place attribuée ?

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25 commentaires Écrire

  1. Oim 10 février 2021 à 19h58 Répondre

    Premièrement : Il n’y a que deux cas possibles. Soit la place 1 est libre (nommons le cas 1), soit la place 100 (nommons le cas 100) est libre.
    Démonstration par l’absurde : si la place i est libre, avec i >1 et i<100, le passager i s'est alors assis à une mauvaise place alors qu'elle était libre pour lui

    Deuxièmement, deux cas possibles ne veut pas forcément dire qu'il y a équiprobabilité.

    Dans chaque cas de figure, le choix entre le cas 1 et le cas 100 se fait au moment ou l'une des deux places est finalement prise. Tout autre action ne détermine en rien le résultat.
    Un passager qui prend sa place au hasard le fait de manière équiprobable (si il y a 5 places P(prendre 1) = 1/5, P(prendre 100) = 1/5).

    Il n'y a que deux cas possibles in fine, et l'action qui détermine à chaque fois l'issue se fait de manière équiprobable, donc la réponse est bien 1 chance sur 2 🙂

  2. joecandle 22 avril 2018 à 13h30 Répondre

    Reponse correcte, mais voila une explication plus simple:
    Quand le dernier passager monte dans l’avion, le seul siège qui peut éventuellement être disponible est le siège du premier passager ou son propre siège.
    Les sièges des passagers 2, 3, 4, …. au passager 99 seront TOUJOURS pris. Ces passagers sont disciplinés. Si leur siège est disponible, ils le prendront automatiquement. Donc, il ne peut pas être disponible pour le dernier passager.
    Il est aussi probable que le siège du dernier passager sera vide que celui du passager 1. Par conséquent, il y a 50% de chance que son siège assigné soit vide (et 50% que le siège du passager 1 sera vide).

  3. Pluton 4 août 2017 à 14h34 Répondre

    Faisons un raisonnement plus simple.
    Lorsque les 99 premiers passagers sont arrivés, la seule place libre est en effet la place numéro 1 ou 100.
    Prenons A l’ensemble des configurations où la place 1 est disponible et B l’ensemble des configurations où la 100 est disponible.
    On peut établir une bijection entre ces deux ensembles en échangeant l’état des sièges 1 et 100 (en envoyant la personne sur le siège 1 sur le siège 100 ou inversement).
    Plus important, cette bijection conserve les probabilités car il y a autant de le passager sur le siège 1 avait autant de chances, lorsqu’il s’y est assis, d’aller sur le siège 1 que sur le siège 100.
    On a donc autant de chances que le siège 1 soit occupé que le siège 100 soit occupé.
    La probabilité est de 1/2.

    P.S : cette technique se généralise à n’importe quel nombre de passagers.

  4. Bob77 11 juillet 2017 à 00h45 Répondre

    Les explications sont assez foireuses…
    (Partons du principe, pour plus de facilité, que l’ordre des passagers correspond à leur numéro de place; passager 1=place 1, passager 2=place 2, etc…)

    Donc si le passager 1 choisit de prendre la place 2, le passager 2 n’a plus sa place donc il peut choisir n’importe quelle place sur les 99 restantes et par conséquence 1 chance sur 99 de choisir sur celle du dernier passager.
    Continuons, si le passager 2 choisit la place 3, le passager 3 aura 1 chance sur 98 de prendre la place 100.
    Et si il choisit la place 4 c’est le passager 4 qui aura 1 chance sur 97 de choisir la place 100, etc…

    Dans ce cas, à chaque tour le taux de probabilité du dernier passager baisse, à moins que vous vous arrêtiez à qu’un seul raisonnement : 1chance sur 2, il l’aura ou il ne l’aura pas…………mais là ça fait un peu enfant de 8ans 🙂

    La probabilité est quelque chose de tellement complexe qu’il met impossible de donner la bonne réponse.

  5. Makiavelli 7 mars 2015 à 13h04 Répondre

    Le numero 1 entre , il doit sassoir sur me siege 1 ou 100 parceque les de2-99 on pris leurs sieges attribues , donc le num 1 il a 1/2 chance pour prendre sa place et le numero 100 de meme , si le 1 prends son siege par hasard le 100 va le faire aussi 😀 sinon le 1 prend le 100 et le 100 prends le 1/2 se qui fait le 0,5 😉

  6. al erreur 17 novembre 2014 à 23h44 Répondre

    tout est une question de civilité,
    Rebonjour , tout est une question de civilités.
    Si les passagers entrent un par un et choisissent la place qui leur est due et choisissent sans attendre le suivant une place libre mon ancien raisonnement tient.Il ne restera en fonction des passagers qui reprendront leurs places respectives non une chance sur 2 mais très voisine, je vous laisse calculer cas par cas .
    PAR contre si tout le monde se place et que la personne a qui le premier passager a pris la place attend et s assoit à la place de ce premier.. 1 se met en x et x se met en 1 les autres se mettent à leurs places si x différe du 100 eme passager alors ce dernier a 100%de chance de trouver sa place .
    Le CENTIÈME PASSAGER donc A 99% DE CHANCE DE S ASSOIR A SA PLACE , le seul cas négatif si le premier passager s assoit au numéro de la place du dernier soit 1/ 100 .

  7. Farid19
    Farid19 15 novembre 2014 à 10h32 Répondre

    MOI selon mon raisonnement
    pour le premier passager il a 99chance sur 100 pour que sa place soit vide
    apres c est 98chance sur 99 jusqu a arriver a 1/2
    ce qui donnera en final
    sa chance pour que sa place soit vide est
    P=99/100 x98/99 x97/98x……….x1/2
    Et si vous remarquer on peut simplifier la formule 99avec 99.98avec98 ……..
    JUSQU A arriver a 1/100
    ALORS LA PROBABILITE QUE LE DERNIER PASSAGER S ASSEOIT SUR SON SIEGE EST DE UNE CHANCE sur CENT
    1/100
    ps:si vous remarquer une erreure dans mon raisonnement veuillez me corriger

  8. al erreur 15 novembre 2014 à 02h13 Répondre

    essayez avec 3 passagers
    vu énoncé 1 ne peut choisir que 2 solutions place 2 ou 3
    1 choisit place 2 , 2 choisit soit place 1 ou 3 , si 2 choisit 1 3 s assoit en 3 bonne place
    si 2 choisit 3 3 s assoit en 1 mauvaise place
    1 choisit place 3, 2 prend suivant énoncé place 2 3 s assoit en 1 mauvaise place

    dans ce cas nous avons si je me trompe pas 1 chance sur trois que 3 trouve sa place
    je vous propose d essayer avec 4 passagers, si la proportion baisse il y a des chances qu à cent passagers
    on approche une proportion de 1 chance sur 2 . si 1/3 reste pour 4 et 5 passagers je pense que c est la solution.si la proportion augmente cherchez la formule et bonne chance
    .c est une formule par récurrence .

  9. nicolas 1 novembre 2014 à 18h09 Répondre

    @ Artus Xavier et Tuttle :

    Vous raisonnez à l’envers, à savoir, vous votre raisonnement part du dernier passager, sans tenir compte des événements antérieurs, ce qui rend votre raisonnement caduque. Il faut partir du début, sinon, le résultat conduit à une fausse réalité, voire un paradoxe.

    “le dernier passager n’a devant lui que la place 1 ou 100, et non la 60″… c’est cela qui est absurde ; le dernier passager a une place devant lui, quel que soit son numéro. Il ne faut pas raisonner par numéro mais par probabilité depuis le commencement. Car sinon, s’il est absurde qu’il ait la place 60, il est tout autant absurde qu’il occupe la 1 ou la 100. Les numéros n’ont rien à voir dans ce calcul. Le sort du dernier passager n’est pas en fonction de l’avant dernier, ni de celui d’avant encore, mais de tous depuis le début.

    Votre raisonnement est le même que celui du “paradoxe du prisonnier”, qui n’est d’ailleurs pas un paradoxe : celui dont on lui dit qu’il sera mené à l’exécution un matin de la semaine, au hasard, à sa plus grande surprise. Faisant le raisonnement à l’envers, comme vous, il en déduit qu’il ne pourra jamais être exécuté selon les règles de départ, à savoir, la surprise totale. Remontant la flèche du temps à l’envers, il en déduit cela. Ce qui au final s’avère faux

  10. Tuttle
    Tuttle 31 octobre 2014 à 13h34 Répondre

    Je ne trouve pas l’explication très limpide. Le plus simple selon moi, c’est, une fois éliminé les 2 cas extrêmes où le 1er prend soit sa place (et là, tout se passe bien) soit celle du dernier (là, ça se passe mal), de penser au dernier passager de 2 à 99 qui trouve sa place occupée : soit il prend la 1 (bien), soit il prend la 100 (pas bien), soit il prend une restante entre 2 et 99 mais du coup, ce n’est pas le dernier alors on recommence avec le suivant. Bref, 1 chance sur 2 que ça se passe bien.

  11. Artus Xavier 27 octobre 2014 à 14h45 Répondre

    Le dernier passager n°100 n’a devant lui que la place 1 ou la place 100 car tout autre possibilité est absurde. En effet il ne peut pas avoir devant lui la place 60 par exemple car le passager 60 l’aurait prise puisque c’est la sienne et si elle est libre pour le passager 100 elle l’était pour le passager 60.

    Un passager précédent (le premier ou n’importe quel passager qui avait sa place prise), appelons le “Marcel”, a choisi la place 1 ou la place 100, ce qui a déterminé le sort du dernier passager. Il y a avait autant de chance que “Marcel” choissise le 1 ou le 100, donc la chance que le dernier passager ait sa place est bien de 50%

  12. Greg
    Greg 5 octobre 2014 à 14h20 Répondre

    @ nicolas :
    selon ton raisonnement, pour 3 places :
    on a 1/3+(1/3 x 1/2) = 1/2

    de plus, en raisonnant sur 4 places, si tu fais un arbre pour considérer tous les cas possibles on retombe bien sur 1/4 + 1/12 + 1/24 + 1/8 = 1/2

    en réitérant, on tombera toujours sur 1/2
    la réponse est donc bien 1/2

  13. Nicolas 18 septembre 2014 à 20h05 Répondre

    petite erreur dans la construction mathématique :

    il faut faire 1/3 x 1/2 pour 3 places,
    puis 1/3 x 1/4 x 1/3 x 1/2 pour 2 places, etc

    donc vous voyez nous sommes loin de une chance sur deux à la fin

  14. Nicolas 18 septembre 2014 à 19h32 Répondre

    toutes vos réponses sont fausses.

    Pour vous le démontrer, il suffit de commencer par 3 sièges.
    3 cas possibles :
    1) le premier passager un choisit son propre siège, et dans ce cas, le dernier passager aura 100% de chance
    2) le premier passager un choisit un siège qui n’est ni le sien, ni celui du dernier, dans ce cas, le dernier passager aura 50% de chance, selon le choix du second passager à embarquer
    3) le premier passager choisit le siège du dernier, auquel cas il le dernier aura 0 % de chance

    Pour chaque cas, les probabilités s’ajoutent, et dans chaque cas, elles se multiplient en fonction du nombre de place :
    pour 3 places : 1/3 + 1/2 = 5/6
    pour 4 places : 1/3 + (1/3 x 1/2) = 1/3
    pour 5 places : 1/3 + (1/4 x 1/3 x 1/2) = 9/24
    pour 6 places : 1/3 + (1/5 x 1/4 x 1/3 x 1/2) = 41/120

    on peut continuer jusqu’à 100… mais la chance diminue en décroissant dès 9/24= 0.375

  15. olivier 13 septembre 2014 à 15h02 Répondre

    Madina, ton raisonnement est juste, sauf pour le final :

    il a une chance sur 2 dans ton cas numéro 3 ! mais pas dans les autres cas ! donc la probabilité finale n’est pas une chance sur deux.

    mais 1/3 multiplié par 1/2 = 1/6

    donc une chance sur 6

  16. Maths59
    Maths59 13 septembre 2014 à 14h37 Répondre

    0,01

    En langage mathématique la probabilité est un nombre compris entre 0 et 1

    Mais dans le français courant on utilise souvent 1%…

    Indépendamment de ce qui se passe avant qu’il ne s’assoie , son siège est occupé ou non il ne lui reste qu’un des 100 sièges ,

    Prenons le problème dans l’autre sens et notons le 43 pour l’exemple … Il y a une chance sur 100 que son numéro soit le 43…

  17. Madina
    Madina 13 septembre 2014 à 12h11 Répondre

    Il existe 3 cas de figure :

    Cas 1 :
    le premier passager choisit sa propre place, le dernier passager a 100% de chance d’avoir sa propre place.

    Cas 2 :
    le premier passager choisit la place du dernier, celui ci a donc 0% de chance d’avoir sa propre place

    Cas 3 :
    le premier numéro 1 s’assoit dans une autre place que la sienne et que celle du dernier passager, on a bien une chance sur 2 pour celui-ci de s’asseoir sur sa place.

    Exemple :
    le passager n°1 a la place 19 attribuée.
    le passager n°100 a la place 42 attribuée.

    le passager n°1 choisit la place 85.
    parmi les 98 passagers suivants, seul celui qui avait la place 85 nn pourra trouver son siège inoccupé.
    Il lui restera alors le choix entre la place 19 et la place 42.
    Selon son choix le dernier passager aura donc une chance sur deux d’avoir sa bonne place.

    On a donc bien 1 chance sur 2 pour le premier passager d’avoir sa propre place à la fin.

  18. Ericdelyon 13 septembre 2014 à 09h26 Répondre

    Pas d’accord….ou alors ton explication n’est pas assez claire…
    Le dernier passager n’a qu’une seule place de libre et pour savoir si c’est la sienne il faudrait faire un calcul de probabilité (qui dépasse mes compétences)

  19. Nicolas 13 septembre 2014 à 00h38 Répondre

    Mais c’est pas une énigme c’est un problème de math !! LOL

    Aller je dis 1 chance sur cent, il faut que le premier tombe sur sa place attitré par hasard.

    Mais ça sent le piège ^^

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