Enigme du café et du lait

enigme-cafe-lait

Soit deux tasses identiques, remplies au même niveau (volume identique de liquide). L’une contient du café et l’autre du lait.

On prélève une cuillère de la tasse de lait que l’on verse dans la tasse de café. On mélange cette dernière puis on prélève une cuillère de cette tasse de café (au lait) pour la verser dans la tasse de lait.

Il s’agit de la même cuillère dans les deux manipulations, remplie au même niveau à chaque fois et sans aucune perte pendant les transferts.

Y a t-il plus de lait dans la tasse de café que de café dans la tasse de lait ?

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52 commentaires

  1. Kiwi
    12 août 2019 à 17:01

    Beaucoup de gens disent en commentaire que c’est faux car suite au premier échange, il y a dorénavant du lait dans la tasse de café … Oui et alors ? Si on fait le calcul, à la fin, et même en prenant en compte que la tasse de café a été diluée avec du lait, il y aura bien autant de lait dans le café que de café dans le lait.

  2. Turin_G
    Turin_G
    19 juillet 2019 à 10:06

    En plus, j’ai oublié de remettre mon facteur 2 pour ma solution la plus particulière:
    À concentrations initiales égales, et à volume de transfert égal au volume de tasse, on aurait:

    C(TasseL, T2) = N(0)/[2*V(0)], donc chacune des concentrations initiales aurait – au “meilleur” des cas – été diminuée par deux,

    …car: les substances ne sont pas les mêmes!

  3. Turin_G
    Turin_G
    19 juillet 2019 à 9:35

    -La “solution” proposée par l’auteur est ABSOLUMENT FAUSSE, comme je viens de le démontrer, car les substances ne sont pas les mêmes! Sa réponse serait valide s’il s’agissait de la même substance.

    -Le raisonnement qu’il convient de faire, est non pas quantitatif sur des volumes, mais sur les dilutions chacune respective à une substance.

    -Tel que je viens de le démontrer, la solution proposée par l’auteur, ne pourrait être vraie QUE SI LES CONCENTRATIONS INITIALES EN LAIT ET EN CAFE SONT DE MÊME QUANTITE, et en plus…
    SI LE VOLUME DE TRANSFERT EST EGAL AU VOLUME D’UNE TASSE (tasse de lait complètement transférée dans le café, qui une fois mélangé, est donc vidé par sa moitié dans la tasse qui contenait auparavant le lait),
    … Conditions qui ne sont pas précisées, et donc que nous ne sommes pas en droit de présupposer.

    -Faute de ces conditions, le seul moyen d’y tendre, serait de répéter le processus de transfert un très grand nombre de fois, ce qui tendrait à égaliser les substances entre les 2 tasses (le faire un nombre pair de fois, pour obtenir des volumes égaux) – …tel que l’intuition nous le dit, d’ailleurs!

  4. Turin_G
    Turin_G
    19 juillet 2019 à 9:24

    Oui, à concentrations initiales égales.
    -Il y a plus de lait dans le café que de café dans le lait… si les concentrations initiales des deux substances (considérées chacune comme somme des concentrations de leurs composants), étaient égales entre elles (ce que le problème n’explique, ni n’infirme).
    Raisonnement :
    Lorsque l’on transfère le lait dans le café la 1ère fois, la dose quitte son lait, pur aussi, en concentration maximale possible, multipliée par le volume de transfert qui peut aller jusqu’à la tasse entière (il n’est pas dit que la cuillère n’était pas aussi grande (ou plus) que la tasse), qui donne un nombre de particules, qui peut être maximal pour le lait.
    -Lorsque cette dose est ajoutée au café, elle se dilue, mais le café aussi (on évite à ce stade de faire un jugement sur une « petite dose de lait ajoutée dans beaucoup de café », car c’est pas nécessairement ça, au cas où le volume de la dose est grand ou selon les concentrations). Dans le cas où les concentrations initiales du café, et du lait, seraient quantitativement égales, il y a alors bien-sûr moins de lait que de café (en absolu) dans cette tasse à ce moment ; mais, les 2 se trouvent dilués par l’augmentation globale de volume, qui lui-même est la somme des volumes de tasse avec dose.
    -Ayant bien mélangé, on reprend une dose depuis cette tasse. Au lieu de contenir sa dose précédente de lait, elle en a moins, et elle a gagné comparativement du café. SI les concentrations initiales de café et de lait sont quantitativement égales, on prend alors plus de café que de lait.
    -On ajoute cela à la tasse de lait. Le lait a initialement perdu une grande dose, puisque le lait retiré était pur, alors qu’il revient très dilué (en même volume). De son côté, le café a été très peu dilué, mais a reçu du lait pur.
    Il y a donc plus de lait dans le café que de café dans le lait.

    Quantitativement :

    Il faut déterminer les volumes initiaux des 2 tasses, celui du transfert, les volumes intermédiaires, et finals, mais aussi les nombres de particules dissoutes, en 2 cas aussi. On suppose que le phénomène de mélange ne modifie pas les sommes de volumes, par aucune interaction chimique.
    On pose :
    Volumes initiaux de café et de lait :
    V(C, 0) = V(0) = V(L, 0)
    -Volume de transfert : v
    Volume de lait après sous-tirement :
    V(L, T1) = V(0) – v.
    Volume café mélangé, une fois qu’on en reprend un dose :
    V(TasseC, T2) = V(0)
    Et pareil pour le lait.

    Alors, au temps 0 :
    Quantités de matière :
    N(C, 0)
    N(L, 0)
    Concentrations :
    C(C, 0) = [N(C, 0)/V(0)]
    C(L, 0) = [N(L0)/V(0)]

    Au temps T1 (transfert du lait, au café) :
    -Retrait du lait de sa tasse :
    Evidemment :
    C(L, T1) = C(L, 0)
    puisqu’on n’a pas agi au sein de la composition du lait, par un transfert de mélange, mais que l’on a juste retiré un certain volume.
    N(TasseL, T1) = N(L, 0) – N(L, 0)*v/V(0)
    = N(L, 0)*[1-v/V(0)]
    (Avec v/V0 < 1, accessoirement).

    -Réception du lait dans la tasse de café :
    N(TasseC, T1) = N(C, 0) + N(L, 0)*v/V(0)

    C(TasseC, T1) = N(TasseC, T1)/[V(0) + v]
    = [N(C, 0) + N(L, 0)*v/V(0)]/[V(0) + v]

    Transfert 1 :
    -volume : v, toujours ;
    -concentration :
    C(L, 0)

    -quantité de particules :
    N(T, T1) = C(L, 0)*v

    -Au temps T2 (transfert de la tasse de café à celle de lait) :
    N(T, T2) = C(TasseC, T1)*v

    -perte depuis tasse de café (mélangé) :
    N(TasseC, T2) = N(TasseC, T1) – N(T, T2)
    C(TasseC, T2) = [N(TasseC ; T1) – N(T, T2)]/V(0)

    -ajout dans tasse de lait (très mélangée) :
    N(TasseL, T2) = N(TasseL, T1) + N(T, T2)

    Finallement, on a la relation de la tasse de lait mélangé, par rapport au mélange de la tasse de café, lui-même en relation aux données initiales :
    C(TasseL, T2) = N(TasseL, T1) + N(T, T2)
    = {N(L, 0)*[1 – v/V(0)] + [N(C, 0) + N(L, 0)*v/V(0)]*v/[V(0)+v]}/V(0)

    -résultat que l’on peut vérifier avec des valeurs particulières ; par exemple, comme le problème ne le précise pas, si on a des concentrations initiales égales, le résultat final est alors égal à :
    C(TasseL, T2) = {N(0)*[1 – v/V(0)] + N(0)*[1 + v/V(0)]*v/[V(0)+v]}/V(0)

    Si ce sont les volumes qui sont egaux :
    C(TasseL, T2) = [N(C, 0) + N(L, 0)]/2*V(0)

    -Et si on a les deux contraintes, on obtient, évidemment :
    C(TasseL, T2) = N(0)/V(0)

  5. Ergamer38
    22 février 2018 à 19:26

    Je ne suis pas d’acord avec la correction car lorsque l’on mets le café dans la tasse de lait il y a déjà du lait dans la tasse de café

  6. Frrarespapuche
    31 mai 2017 à 14:17

    tout dépend de la taille de la tasse.
    Si la tasse > racine carré de 2 fois la taille d’une cuillère
    plus de lait dans le café
    si égal à racine carré de 2 fois la taille d’une cuillère.
    meme quantité.
    si inférieur
    le mélange sera homogène, et il y aura plus de lait ET de café dans la tasse de lait dans des proportion égale a la tasse de café.

  7. Dd
    10 mars 2015 à 6:13

    La 2ème cuillère est dilluée contrairement à la 1ère, il y a donc plus de lait dans la tasse de café que de café dans la tasse de lait

  8. Coco21212
    24 mai 2014 à 0:01

    Votre explication est plus intéressante, la démonstration mathématique n’est qu’un petit calcul littéral qui n’a aucun intérêt pour qui a passé un bac S. C’est celui que j’ai fait par réflexe et je me suis dit que ce n’étais pas vraiment une énigme mais plutôt un exercice que je donnerais à mes élèves mais votre solution m’a fait changer d’avis. Ça ressemble à l’énigme du tournois que tout le monde résout en 2 secs en utilisant la formule de somme de terme de suite géométrique et que je ne trouvais pas intéressante non plus alors qu’il suffit d’utiliser la logique pour la résoudre en une ligne. Pour ceux qui se demanderaient, l’expression littérale du volume de lait dans le café (et de café dans le lait) à la fin de l’expérience est: soit “a” le volume de la cuillère et “V” le volume initial (et final) de liquide dans chacune des tasses alors le volume cherché est a – (a^2)/(a+V) @Mickael

  9. Coeurange
    21 octobre 2013 à 17:53

    Oui il y a autant de lait dans le café (au lait) que de café dans le lait. car si vous mettez une cuillère si elle fait 25 ml. on mélange, si on reprend une cuillère qui à 20 ml de café et 5 ml de lait (au pif) donc dans le lait il y aura 20 ml de café ( comme dit juste avant ) et dans le café il y aura 25 ml de lait qu’on a mis moins les 5 ml de lait qu’on a repris (avec les 20 ml)

  10. Cesel
    19 octobre 2013 à 15:23

    Ce qui peut se démontrer en mathématique n’est pas forcement vrai dans la réalité car il y a ce problème de mélange de produit donc de pourcentage.
    Concrètement :prenons de la farine noire et blanche.
    Dans le deuxième transfère il y a un pourcentage de farine B/N
    Alors que dans le premier transfère il n’y avait pas de mélange que de la farine blanche.
    Il y a même quantité au moment du transfère mais pas de poucentage.

    ça marche aussi avec du colorant.

  11. Boubouche
    2 octobre 2013 à 6:52

    Je préfère le thé !

  12. Isaac
    6 août 2013 à 14:32

    En fait, on enlève une cuillère de lait de la tasse de lait, que l’on remplacera par une cuillère hybride (excusez le terme) qui sera composée majoritairement de café et d’un peu de lait…soit le calcul suivant:
    Concentration de lait dans la cuillère retour=Concentration de lait dans la 2e tasse…la concentration de lait dans le 2e tasse restant la même à partir du moment où l’on a ajouté du lait dedans. Dans ce cas, imaginons que nos tasses fassent 0,1 L de contenance, et qu’une cuillère fasse 0,01 de contenance. Pour simplifier on parlera en décilitres…soit 1dl et 0,1 dl. Si j’ajoute une cuillère de lait dans la tasse de café, la 2e tasse contient 1,1 dl dont 0,1 dl de lait, soit 0,1/1,1 de concentration. Soit 9,1 % de lait dans la tasse…si on en prend une cuillère et qu’on la met dans la 1ère tasse, la concentration dans la cuillère en lait est toujours de 9,1 %…soit 9,1% de 0,1 dl. soit 0.0091 dl de lait dans la cuillère “retour” et donc 0,0909 dl de café. sur une tasse qui retourne à une contenance de 1dl (on en avait retiré 0,1dl) on a maintenant .Si l’on rpend la quantité de lait dans cette tasse, elle est égale à 1-0.1+0.0091…soit 0.9091dl de lait. Tandis que dans l’autre tasse on a 0,1 dl de lait. Enfin, sérieusement. dans une tasse de lait on a plus de lait que dans une tasse de café? 🙂

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