Quel est le nombre entier à deux chiffres…

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Quel est le nombre entier à deux chiffres qui divisé par la somme de ses deux chiffres donne pour résultat la somme de ses deux chiffres ?

Proposée par Sarah B.

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  1. Jeff 3 février 2018 à 14h53 Répondre

    Quel nombre est 5 fois la somme de ses chiffres ?

    Si ce nombre A possède plus de 3 chiffres, alors avec n le plus grand exposant en base 10 dans l’écriture de ce nombre, nous avons 9*(n+1)>=A>=10^n, soit 9*(n+1)>=10^n. Impossible pour n>2. Ainsi n=0 ou n=1. Il suffit donc de résoudre 10 a + b = 5*( a + b ). Il vient 5 a = 4 b, d’où b=5 et a=4.

    Vérification : 45=5*9=5*(4+5).

  2. Jeff 2 février 2018 à 23h11 Répondre

    Nous avons 10a+b=(a+b)² soit encore 9a=(a+b)²-(a+b)=(a+b)(a+b-1). Comme a+b et a+b-1 sont consécutifs et en utilisant par exemple le théorème de Gauss, 3|(a+b) ou a+b-1 et par suite 9|(a+b) ou a+b-1. Ainsi a+b vaut 9,10 ou 18. Or 18²>=10²=100 est un nombre à 3 chiffres. 10 et 18 ne peuvent donc convenir. La seule solution possible est a+b=9. Comme 10a+b=(a+b)²=9²=81, par analogie, a=8 et b=1.

    Vérification : 10a+b=81, a+b=9 et 81/9=9.

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