Nombre égal au quadruple de la somme des chiffres

nombre-egal-quadruple-somme

Le nombre dix-huit est égal au double de ses chiffres.

Le nombre vingt-sept est égal au triple de ses chiffres.

Quels sont tous les nombres qui sont égaux au quadruple de la somme des chiffres qui les composent ?

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7 commentaires

  1. Turin_G
    Turin_G
    18 juillet 2019 à 21:25

    Faux, la solution manque du chiffre & nombre: 0.

    La façon de résoudre est la suivante:
    Dans n’importe quelle base y, un nombre s’écrit selon la méthode: [N*y^M]+…+[C*y^2]+[B*y]+[A],
    où A; …; N sont les chiffres inférieurs à la base considérée.
    C’est-à-dire plus simplement N…CBA.
    -On veut qu’il y ait égalité avec le quadruple de la somme de ses chiffres:
    4*(A+B+C+…+N) = A+B*y+C*y^2+…N*y^M.

    -Essayons d’abord avec la base Dix,
    et 1 chiffre:
    4a = a –> a = 0.
    à deux chiffres:
    4*(a+b) = a + 10b –> 4a + 4b = a + 10b –> 3a = 6b –> a = 2b.
    Essayons!
    12 = 4*(1+2), oui;
    24 = 4*(2+4), oui;
    36 = 4*(3+6), oui;
    48 = 4*(4+8), oui.

    -Essayons avec 3 chiffres…
    4(a+b+c) = a + 10b + 100c
    –> 4a + 4b + 4c = a + 10b + 100c,
    –> 3a = 6b – 96c.

    Il y a trop de solutions. J’essaie des nombres intuitivement:
    11: non,
    22: non,
    33: on s’approche,
    44: on brûle,
    55: on s’éloigne à nouveau!

    -J’en déduis qu’il n’y a, en base Dix, que: 0; 12; 24; 36; 48. En particulier, on voit que, “en tirant par les cheveux” quitte à considérer que “10 est des unités, doubles à celles de 5 elle-mêmes aux dizaines”, soit 50 + 10, et qui donnerait le prochain multiple de 12, c’est-à-dire 60, ne satisfait pas la demande.

    Donc on s’arrête là pour la base Dix.

    -Je reviens sur mes propositions de bases, mais avec des nombres ayant 2 chiffres, en essayant la relation du quadruple de la somme des chiffres comme étant égale au nombre:
    Base Cinq)
    4a + 4b = 1a + 5b –> 3a = b. Solutions: 31. Bien que l’on soit en base Cinq, la computation pour le 2nd chiffre, en langage, donne:
    3*5 + 1 = 16 = 4*(3+1), ce qui est juste.
    Base Six)
    4a + 4b = 1a + 6b –> 3a = 2b. (Solutions non-entières, s’il y en a).
    -En fait, on voit que dans la relation résultant entre les unités et les chiffres de base à la puissance 1, les “a” ne bougent pas, mais les “b” sont incrémentés.
    -Avant la base Dix, on va voir que la base Sept est privilégiée pour maximiser le nombre de solutions (entières):
    3a = 3b, ce qui est optimal, car minimisant les écarts entre les chiffres de la relation, cela explique qu’il y ait tant de solutions à 2 chiffres:
    11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99. (Je n’ai vérifié que les 3 premiers nombres; vous pouvez vérifier le reste).

    -Récapitulatif: La solution proposée manque du 0.

  2. Jeff
    16 février 2018 à 22:36

    Soit A un tel nombre, alors avec n le plus grand exposant en base 10 dans l’écriture de ce nombre, nous avons 4*9*(n+1)>=A>=10^n, soit 36*(n+1)>=10^n. Ainsi n<=3. Posons A=100a+10b+c, il vient

    100a+10b+c=4(a+b+c) soit encore 96a+6b=3c. Nécessairement a=0, d'où c=2b. Le solutions possibles sont 12, 24, 36, 48.

    Vérification : 4x(1+2)=12; 4x(2+4)=24; 4x(3+6)=36; 4x(4+8)=48.

    A noter que 0 est également solution.

  3. Didou
    24 février 2014 à 9:47

    Le chiffre des dizaines doit être la moitié de celui des unités. Les unités doivent donc être paires : 12 , 24 , 36 , 48 et 0.

    Il manque 0 dans les solutions.

  4. Lolita
    28 janvier 2014 à 18:50

    je ne comprend pas la question pouvez vous m’aider a la comprendre , a m’expliquer s’il vous plait merci .

  5. 3 mars 2013 à 20:44

    le nombre est xy
    10x+y=4(x+y)
    6x=3y
    y=2x
    12,24,36,48

  6. Chacal
    8 février 2013 à 19:51

    Les 4 premiers multiples de 12, soit : 12, 24, 36 et 48

  7. STEBANI
    24 janvier 2013 à 19:03

    LA SUITE DE CES NOMBRE 6 2 3 13 17
    LA LISTE DE RéPANCE 1 5 14 12

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